International Finance Management and Banking 강의를 듣다가 처음보는 개념이 나와서 정리해봅니다.
해당 포스팅은 이항선물옵션가격결정모델의 이론적 토대를 설명하고, 주식을 기초자산으로 하는 콜옵션의 가치를 구하는 과정을 설명하고 있습니다. 또한 이를 바탕으로 환율을 기초자산으로 하는 콜옵션의 가치 평가 과정까지 제시하고 있습니다.
Source
1. http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_options_pricing_model
2. http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=8318
옵션가격을 정하는 기초통화인 환율의 상승 혹은 하락하는 두 가지 경우만을 고려하여 즉, 이항분포를 따른다고 가정함으로써 옵션가격을 결정하는 모델이다. 이 때 가격의 상승과 하락에 따라 결정되는 옵션가격은 이산적(연속적이 아님)인 이항분포를 보인다는 점에 유의하여야 한다.
(위 설명은 외환선물옵션에 해당하는 것이므로 만일 기초자산을 주식으로 설정한다면, 해당 주식의 가격이 상승 혹은 하락하는 경우로 나누게 된다)
용어설명
S : 환율변동에 따른 옵션가격 (Spot Price)
C : Call Option의 권리가격
E : 행사가격 (Exercise Price, Strike Price)
해당 모형은 기초통화의 가치가 오를 경우 (확률 p) 그리고 내릴 경우 (확률 q, 1-p), 단 두 가정 만을 가지고 있다. 그러므로, p확률로 환율이 오를 경우에 S(Spot Price)는 uS(upper spot price), 환율이 내릴 경우에 S는 dS(down spot price)로 표시한다.
마찬가지로 환율이 오를 경우의 Call option의 가격은 uC로 표기하는 데, 이 때 차액이 'negative, -'일 경우 행사 권리를 포기하면 되므로 uC = Max[uS-E, 0]으로, 반대의 경우 dC = Max[dS-E, o]으로 표시한다.
Put Option의 경우도 마찬가지로 uP = Max[E-uP, 0] 그리고 dP = Max[E-dP, 0]로 표시한다.
Problem (해당 모형 연습문제)
Exercise price : $51
Current price : $50
Stock
$50/share
Case 1 (Spot price goes up) $55 – Profit 4$ per share (n x $55) + B(1.05) – Equation 1 Case 2 (Spot price goes down) $45 –Loss 6$ per share Max[-$6, 0] = $0 (n x $45) + B(1.05) – Equation 2 |
(N = a number of call option, B = Borrow)
위 풀이과정을 토대로, 주식을 기초자산으로 하는 해당 콜옵션의 가치는 $2.86으로 계산된다. 다시 말해 기초자산의 구입가격에 콜옵션을 더한 가격이 손익분기점이 된다는 의미이다.
Problem
(Call Option on a Currency)
-> 환율을 기초자산으로 하는 콜옵션의 가치평가 (이항모형을 통한)
|
|
€:$ = 1.00
1 Call - €100r$ = 5%
위 전제를 바탕으로 콜옵션의 가치를 구하려고 함.
(N€ x 1 +B$)
= C0
= Call Value
{N x (1+3%) x 1.15} + {B(1+5%)} = 15
환율이 내릴 경우,
€:$ = 0.85 → Loss : Max[0, 0.85-1] = 0 |
N = €48.54
B = -$40.48
∴ 48.54 x
1(€:$) – 40.48 = $8.06
결국, 1 Call option에 해당하는 가치는 $8.06
이는 다음과 같이 해석할 수 있다.
100€ = $100 + $8.06 = $108.06 (한 단위의 Call을 사기 위해 $100을 Borrow 해야 하는 데 이때 $8.06을 더 지불해야 함.
Even Brake Exchange Rate is €1 = $1.0806
박종서, Jong-sou Park
Exchange student at Arkansas State University